1 前言
自由曲面在模具中应用非常广泛，如汽车车身模具、塑料模、叶片锻模、铸模等，大都包含自由曲面（以下简称曲面）。曲面的加工通常由球面刀和非球面刀（如平头立铣刀、锥状刀、鼓形刀等）完成，由于平头立铣刀（以下简称立铣刀）的切削效率、加工质量、使用寿命等都优于球面刀［1］，应优先选择。近几年来，国内外有关曲面立铣刀五轴数控加工轨迹的算法的研究较多［4～6］，这些算法用微分几何的方法对步长和行距进行预测，公式简单，计算量小，但它们没有考虑相邻刀具接触点间曲率的变化，对于加工曲率变化小的曲面比较有效，不适合曲率变化大的曲面。本文提出一种在参数坐标系下自适应步长和行距的计算方法。该算法在满足加工精度和粗糙度的前提下，又能有效地提高加工效率，适合曲率变化大的曲面的加工。
2 刀具的有效半径
五轴立铣加工曲面时，由于立铣刀的切削刃在立铣刀的周边上，所以立铣刀的轴线与曲面的法线之间应当偏置一个刀具半径，方能有效地切削曲面。考虑到刀具与曲面干涉等因素，立铣刀在偏置的同时，其轴线在被加工点的法平面内还应与法线夹一角度φ（图1），n为被切削曲面单位法向矢量，Tax为刀具单位轴向矢量，R为刀具半径，那么，刀具的有效切削半径定义为：Re=Rsinφ。在图1所示的状态下，其端面在被加工点的密切面上的投影为长半轴R、短半轴为Re的椭圆。若坐标原点在刀具端面的圆心上，以长、短半轴为坐标轴，立铣刀的端面的方程为：
(1)
图1 刀具有效
为此，立铣刀切削曲面可以看作一把椭圆成形刀在加工曲面。
3 自适应步长的计算
在五坐标数控加工过程中，由于曲面各处的法向矢量是变化的，必然会引起刀具轴向矢量的变化，即刀轴的摆动会使刀具与曲面的接触点轨迹不是一条直线，而是曲线。所以，五坐标立铣加工误差δ包括直线逼近误差δt和刀轴摆动误差δn（图2）。本算法选择曲面某一参数方向（如u向）作为步长进行误差控制（图3），点r(wi,0)、r(wi,1)为曲线r(wi,0)r(wi,1)上两点，连接点r(wi,0)、r(wi,1)成一弦，点r(wi,u)为曲线到弦r(wi,0)r(wi,1)的最大距离点，计算该点处的直线逼近误差和刀轴摆动误差，比较加工误差δ与允差ε的大小，若δ＞ε，连接新的端点r(wi,u)、r(wi,0)形成新弦r(wi,0)r(wi,u)，将新的参数曲线的区间［0，u］转换到［0，1］区间，再次计算加工误差δ，如此下去，直到δ<ε为止。记下此点Δu值，作为加工步长，再以r(u)为新起点，重复计算，即可算出每一点的步长。
图2 步长误差的控制
3.1 直线逼近误差的计算
图3 直线逼近误差的计算
如图3所示，曲线r(wi,0)r(wi,1)的加工实际是通过插补多段内接弦来逼近它。考虑到加工效率，希望弦长尽量大，弦的段数尽量少，即在满足精度的情况下取最大的弦长来逼近，通常的办法是从曲线的一端开始采用迭代搜索法求取弦的另一端点。连接点r(wi,0)、r(wi,1)成一弦，若弦r(wi,0)r(wi,1)用矢量c表示，d表示曲线上的点到弦r(wi,0)r(wi,1)的最大距离，即δt=｜d｜。
那么存在：d=r(wi,u)-r(wi,0)-λc (2)
式中：λ——系数，λ∈［0，1］。
由于c与d垂直，可得到：
cd=0 (3)
联立式（2）、(3)解得：
(4)
(5)
上式可以写成：
d=P［r(wi,u)-r(wi,0)］ (6)
其中，1，称为投影矩阵，I为单位矩阵。
由于在弦向偏差最大处，曲线切矢垂直于矢量d，即r′((wi,u)d=0 (7)
故r′((wi,u)P［r(wi,u)－r(wi,0)］=0 (8)
上式中除两端点为根外，还有多个根，由于在弦向偏差最大处，存在：
r″(wi,u)d＜0 (9)
所以把式(8)和u∈（0,1）用于每一个根处，式(7)中满足式(8)和u∈（0，1）的根即为最大偏差处相应的u值，因此，可求出δt。
上述算法过程中，首先必须检查曲线段内有无拐点，并计算出该点的位置。若曲线段有拐点，则以此拐点将曲线一分为二，将两段参数曲线的区间［u1,u2］转换到［0，1］区间，分别对两段曲线采用二分法进行迭代。
3.2 刀轴摆动误差的计算
刀轴摆动误差是加工过程中，由于刀具轴向矢量摆动引起的非线性误差(见图2)。可以证明［6］：
｜δn｜≤Re(kf.ΔSu) (10)
式中：kf——直线逼近段内曲面沿进给方向在最大直线逼近误差点处的法曲率；
ΔSu——逼近段弧长。
ΔSu=∫u2u1｜r′（Wi,u）｜du (11)
当kf＜0时，加工表面沿走刀方向为凸曲线，刀具接触点的轨迹为凹曲线，因此，加工误差为直线逼近误差和刀轴摆动误差绝对值之和，即：δ=｜δn｜+｜δt｜。
当kf＜0时，加工表面沿走刀方向为凹曲线，刀具接触点的轨迹亦为凹曲线，且刀轴摆动误差｜δn｜总是小于直线逼近误差｜δt｜，因此，可视直线逼近误差｜δt｜为加工误差δ，即：δ=｜δt｜。
4 自适应行距的计算
虽然曲面的形状各异，但是刀具在加工这些曲面时，都是按照一定的曲线走刀加工出整张曲面的。对于刀具接触点而言，根据其所在曲线在该点处的曲率大小可以分为三类：凸点、凹点、拐点，在这里将直线上的点也归为拐点类。凸点、凹点、拐点可以根据其曲率kf的大小加以判别：
当kf＞0时，为凸点；
当kf＜0时，为凹点；
当kf＝0时，为拐点。
与凸点、凹点、拐点相对应，这些点所在的曲线可以分为凸曲线、凹曲线、直线。当刀具的接触点是凸点、凹点或拐点时，在密切面内，这三类点邻域的曲线可以分别看成是凸圆弧、凹圆弧和直线。因此，在计算自由曲面的行距时，可以直接在圆弧和直线上加以计算。
图4a为立铣刀加工凸曲面时的情形，ρ为刀具接触点处的曲率半径，ΔSw为行距，椭圆代表立铣刀，刀具接触点分别为B、C两点，即点r(w1,ui)、r(w2,ui)，设坐标原点在立铣刀的中心上，那么，A点的坐标为：
x=(ρ+h)sinα
y=(ρ+h)cosα-(ρ+Rsin)
图4
(a)凸曲线 (b)凹曲线 (c)直线
由于A点在椭圆上，必满足式(1)的椭圆方程，即：
这是一个一元二次方程，可解出h：
(12)
对于图4b，
(13)
式(12)、(13)中
α=ΔSw/（2ρ） (14）
其中ΔSw为弧BC的弧长:
ΔSw＝∫w2w1｜r′（w,ui）｜dw (15)
对于图4c，
h=Rsinφ-sinφ(R2-L2/4)0.5 (16)
此时，刀具的行距为线段L，即B、C两点间的距离。
至此，已经推导出了三种情形下残留高度的计算公式，可分别用式(12)、(13)、（16）计算出这三种情形下的残留高度。行距的大小就是根据h与ε的比较结果而定的。若h≤ε，那么此时的计算行距ΔSw就能满足要求；若h＞ε，那么需要减小Δw，直至h≤ε为止。为求得满足条件的Δwmin，由步长算法可得到一组ui值，求出对应的Δw值，取其中的最小的Δw即为参数轴上的行距。
5 刀具轨迹的计算
刀具轨迹的计算包括刀具的中心点和刀具轴向矢量的计算。如图5所示，点A为刀具接触点，n为曲面在点A处的单位法矢量，Tax为刀具单位轴向矢量，Tc为由点A指向刀具中心的单位偏置矢量。
图5 刀具轨迹
因为n、Tax、Tc均在同一平面上，又Tc⊥Tax，那么矢量n、Tax1、Tc1组成一个矢量直角三角形。这里Tax1∥Tax，Tc1∥Tc，故：
Tc1=n－Tax1=n－｜ncosφ｜Tax
又cosφ=nTax，故：
Tc1=n－(nTax)Tax
单位化矢量Tc：
Tc=Tc1/｜Tc1｜ (17）
其中刀具轴矢量Tax可将单位法矢量n在A点法平面内旋转φ角得到，即：
Tax=nTR (18)
上式中TR为旋转变换矩阵：
式中：n1、n2、n3——旋转轴单位矢量的方向余弦。
于是，刀具中心点的轨迹为：
Ce=r(w,u)+RTc (19)
6 结论
本文采用弦差法计算五轴立铣刀加工曲面的直线逼近误差，依据微分几何关系计算在最大直线逼近误差处刀轴摆动误差，由两者构成的加工误差来共同控制加工步长，该算法考虑了不同刀具接触点处的曲率差异。文中还对行距计算公式进行了推导，给出了刀位计算公式。该算法适合加工曲率变化大的曲面。
