第三节 数据采样法插补原理实验
一、实验目的
1．掌握数据采样法直线与圆弧插补的基本原理
2．了解数据采样法直线插补与圆弧插补的程序编制方法
3．加深对数据采样法插补的理解
二、实验原理
随着数控系统中计算机的引入，插补实时性和计算复杂性之间的矛盾已不再那么突出了。因此，现代数控系统中就采用了结合计算机采样思想的数据采样插补法。
数据采样法实际上是一种粗插补过程，它所产生的微小线段仍然比较大，必须进一步对其密化（即精插补）。粗插补算法较复杂，大多用高级语言编制；精插补算法较简单，多用汇编语言或硬件插补器实现。
粗插补产生微小线段的周期称为插补周期Ts，精插补的周期称为位置控制周期Ｔc，它是伺服位置环的采样控制周期。对于特定的系统，Ｔs、Ｔc是两个固定不变的时间参数，且Ｔs＝nＴc，n为自然数。
Ｔs对系统稳定性没有影响，但对被加工轮廓的轨迹精度有影响，Ｔs愈大，则产生的微小线段愈长（△Ｌ＝ＦＴs，Ｆ为程编速度），插补计算误差就愈大。而Ｔc对系统稳定性和被加工轮廓的轨迹精度都有影响。
可见，为减小插补误差，应尽量减小Ｔs，但Ｔs若太小，则ＣＰＵ可能来不及进行位置计算、显示、监控、Ｉ／Ｏ处理等ＣＮＣ任务，Ｔs必须大于插补运行时间和完成其他相关
图４-18 第一象限直线 图４-19 第一象限数据采样直线插补软件流程图
任务所需时间之和。目前，Ｔs一般在１０ms左右，如美国ＡＢ公司的７３６０ＣＮＣ系统，Ｔs＝１０．２４ms；德国ＳＩＥＭＥＮＳ公司的System－7CNC系统，Ｔs＝８ms。随着计算机速度的提高，Ｔs有减小的趋势。
Ｔc选择一般有两种情况：Ｔc＝Ｔs（７３６０ＣＮＣ系统），Ｔc＝０.５Ｔs（System－7CNC系统）。
以上是数据采样法的基本原理，下面讨论插补具体轮廓线时的情形。
１．１． 直线插补
图４－１８为第一象限直线，现分析其插补规律。
刀尖从点Ｎi-1移动到点Ｎi，沿轮廓直线方向的增量为ＤＬ＝Ｆ×Ｔs，沿Ｘ向的增量为ＤＸ，沿Ｙ向的增量为ＤＹ，它们之间的关系是：
ＤＸ＝ＤＬ×Ｘe／Ｌ，ＤＹ＝ＤＬ×Ｙe／Ｌ
其中，Ｌ为轮廓直线的长度，它满足等式：Ｌ2＝Ｘe2+Ｙe2
Ｎi点的动态坐标可以用前一个点的坐标动态表示：Ｘ＝Ｘ＋ＤＸ，Ｙ＝Ｙ＋ＤＹ
由此，可设计第一象限数据采样直线插补软件流程图，见图４－１９。
２．２． 圆弧插补
数据采样法圆弧插补的基本思路是在满足加工精度的前提下，用切线、弦线或割线来代替圆弧实现进给，即用直线逼近圆弧。
（1）切线法（一阶ＤＤＡ算法）
图4-20为第一象限逆圆，现分析其切线法插补规律。
设当前点在Ni－1，按切线方向前进一个粗插补周期后到达Ｎi点，走过的粗插补
单位长度为 Ｌ＝Ｆ×Ｔs，其中：Ｆ为进给速度，粗插补周期为Ｔs。
图４-20 切线法逆圆插补示意图 图４-21切线法圆弧插补流程图
显然，Ｘi－1＝Ｒcosψi－1 （Ｒ为圆弧半径）
Ｙi－1＝Ｒsinψi－1
Ｘi＝Ｒcos（ψi－1＋θ）
Ｙi＝Ｒsin（ψi－1＋θ）
从而
Ｘi＝Ｘi－1cosθ－Ｙi－1 sinθ
Ｙi＝Ｙi－1cosθ＋Ｘi－1 sinθ
因θ很小，所以
sinθ＝θ－θ3/3!＋θ5/5!－……
cosθ＝1－θ2/２!＋θ4/４!－……
取一阶近似（一阶ＤＤＡ名称的由来），得
sinθ＝θ＝Ｆ×Ｔs／Ｒ＝Ｋ
cosθ＝1
因此
Ｘi＝Ｘi－1－ＫＹi－1
Ｙi＝Ｙi－1＋ＫＸi－1
Ｘi＝Ｘi－Ｘi－1＝－ＫＹi－1
Ｙi＝Ｙi－Ｙi－1＝ＫＸi－1
由此，可设计第一象限切线法数据采样圆弧插补软件流程图，见图４－２１。
本法与脉冲增量方式ＤＤＡ插补在本质上是相同的，前者是后者的推广。由于误差太大（可以在随后的实验中验证），在实际的CNC系统中并不使用。
（2）弦线法（直接函数算法）
图4-22为第一象限顺圆，弦线法插补规律（请参考有关书籍自行分析）如下：
Ⅰ区：
∆Ｘi＝（Ｙi－1＋∆Ｙi－1×０.５）×ＦＴs／Ｒ
∆Ｙi＝－Ｙi－1＋（Ｒ2－（Ｘi－１＋∆Ｘi）2）1/2
Ｘi＝Ｘi－１＋∆Ｘi
Ｙi＝Ｙi－１＋∆Ｙi
Ⅱ区：
∆Ｙi＝（Ｘi－1＋∆Ｘi－1×０.５）×ＦＴs／Ｒ
∆Ｘi＝－Ｘi－1＋（Ｒ2－（Ｙi－１＋∆Ｙi）2）1/2
Ｘi＝Ｘi－１＋∆Ｘi
Ｙi＝Ｙi－１＋∆Ｙi
Ⅲ区：
∆Ｘi＝（Ｙi－1＋∆Ｙi－1×０.５）×ＦＴs／Ｒ#8710;Ｙi＝－Ｙi－1—（Ｒ2－（Ｘi－１＋∆Ｘi）2）1/2
Ｘi＝Ｘi－１＋∆Ｘi
Ｙi＝Ｙi－１＋∆Ｙi
Ⅳ区：
∆Ｙi＝（Ｘi－1＋∆Ｘi－1×０.５）×ＦＴs／Ｒ
∆Ｘi＝－Ｘi－1－（Ｒ2－（Ｙi－１＋∆Ｙi）2）1/2
Ｘi＝Ｘi－１＋∆Ｘi
Ｙi＝Ｙi－１＋∆Ｙi
图４-22 弦线法顺圆插补示意图 图4-23 分区图
分区情况见图４－２３。由此，不难得到其流程图４-２４。
弦线法的精度比切线法高。
（3）割线法（二阶ＤＤＡ算法）
一阶算法时曾得到：sinθ＝θ－θ3/3!＋θ5/5!－……
cosθ＝1－θ２/２!＋θ4/４!－……
我们现在取两阶近似，即为二阶ＤＤＡ算法：
sinθ＝θ－θ3/3!≈θ
cosθ＝1－θ２/２!≈１－０.５×θ2
图4-25逆圆第一象限插补时，可计算得到：
∆Ｘi＝Ｋ×Ｙi－1－０.５×Ｘi－1Ｋ2
∆Ｙi＝－Ｋ×Ｘi－1－０.５×Ｙi－1Ｋ2
Ｘi＝Ｘi－１＋∆Ｘi
Ｙi＝Ｙi－１＋∆Ｙi
按此编制程序流程图4-26。割线法的精度比弦线法高。
图４-24 弦线法圆弧插补流程图
图４-25 割线法逆圆插补示意图 图４-26 割线法圆弧插补流程图
3．参考程序：
直线：
Sub 插补()
Dim l, K, a, B, f1, t
x动点对起点 = 0: z动点对起点 = 0
f1 = f × 10: t = Ts / 60000
l = Sqr((x终点对起点 ^ 2 + z终点对起点 ^ 2))
K = f1 × t / l
a = Sqr((x动点对起点 - x终点对起点) ^ 2 + (z动点对起点 - z终点对起点) ^ 2)
x步长 = K × x终点对起点: z步长 = K × z终点对起点:
B = Sqr(z步长 ^ 2 + x步长 ^ 2)
Do Until a <= B / 2
x动点对起点 = x动点对起点 + x步长: z动点对起点 = z动点对起点 + z步长
a = Sqr((x动点对起点 - x终点对起点) ^ 2 + (z动点对起点 - z终点对起点) ^ 2)
Line -Step(z步长 × 系数, x步长 × 系数), vbRed
x动点对原点 = x动点对起点 + x起点对原点: y动点对原点 = y动点对起点 + y起点对原点: z动点对原点 = z动点对起点 + z起点对原点
Loop
End Sub
圆弧（切线法）：
Sub 插补()
Dim 区间符号 As Integer
Dim x, y, z As Double
Dim K
Dim 径向误差, R动 As Double
顺逆符号判别
读数据
If R < 0.001 Then
Else
Ts = Ts / 60000
步长 = f × Ts:
K = 步长 / R
x动点对圆心 = -x圆心对起点 / 系数: z动点对圆心 = -z圆心对起点 / 系数
End If
x = ((x动点对圆心 - x终点对圆心) ^ 2 + (z动点对圆心 - z终点对圆心) ^ 2) ^ 0.5
y = 3 × 步长 × 系数
Do Until x <= y
deltaZ = -顺逆符号 × K × x动点对圆心
deltaX = 顺逆符号 × K × z动点对圆心
Line -Step(deltaZ, deltaX), vbRed
x动点对圆心 = x动点对圆心 + deltaX: z动点对圆心 = z动点对圆心 + deltaZ:
x动点对原点 = x动点对圆心 + x圆心对原点: y动点对原点 = y动点对圆心 + y圆心对原点: z动点对原点 = z动点对圆心 + z圆心对原点:
x = ((x动点对圆心 - x终点对圆心) ^ 2 + (z动点对圆心 - z终点对圆心) ^ 2) ^ 0.5:
y = 3 × 步长 × 系数
R动 = Sqr(x动点对圆心 ^ 2 + z动点对圆心 ^ 2)
Loop
End Sub
